Влияние «волнового хаоса» на рынок

Рейтинг самых лучших брокеров бинарных опционов 2020:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место в рейтинге! Самый честный и надежный брокер бинарных опционов!
    Идеально подходит для новичков и средне-опытных трейдеров.
    Бесплатное обучение и демо-счет!
    Дают бонус за регистрацию:

научная статья по теме ЛУЧЕВОЙ И ВОЛНОВОЙ ХАОС В ЗАДАЧАХ О ДАЛЬНЕМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЗВУКА В ОКЕАНЕ Физика

Цена:

Авторы работы:

Научный журнал:

Год выхода:

Текст научной статьи на тему «ЛУЧЕВОЙ И ВОЛНОВОЙ ХАОС В ЗАДАЧАХ О ДАЛЬНЕМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЗВУКА В ОКЕАНЕ»

изучения теории квантового хаоса служат системы, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение. Нелинейный осциллятор, возбуждаемый нестационарной внешней силой, попадает в эту категорию. Его волновая функция подчиняется уравнению Шредингера, имеющему в точности ту же форму, что и параболическое уравнение, задающее звуковое поле в волноводе [12].

Указанная аналогия с нелинейным осциллятором позволяет применять методы теории динамического и квантового хаоса при изучении акустических полей. Однако несмотря на совпадение исходных уравнений, постановки задач, возникающих при анализе хаоса в механике и акустике, нередко существенно различаются. Так, например, одним из основных объектов исследования теории лучевого хаоса является время пробега звука вдоль лучевой траектории, которое для краткости называют временем прихода луча [9, 17, 24-28]. Аналог этой величины в механике — механическое действие -обычно не измеряется в экспериментах, и поэтому его изучению в теории динамического хаоса не уделяется большого внимания. Далее мы увидим, что для поля импульсного сигнала в механике вообще трудно найти сколько-нибудь естественный аналог.

Хаотическую динамику лучей мы будем обсуждать с использованием относительно простой двумерной модели среды, в которой поле скорости звука с(г, г) представлено в виде [5, 17]

Рейтинг брокеров бинарных опционов полностью на русском языке:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место в рейтинге! Самый честный и надежный брокер бинарных опционов!
    Идеально подходит для новичков и средне-опытных трейдеров.
    Бесплатное обучение и демо-счет!
    Дают бонус за регистрацию:

с (г, г) = Со (г) + 5с (г, г),

где с0(г) — невозмущенный плавный профиль, а 5с(г, г) — малое возмущение, ответственное за возникновение хаоса. Исследования лучевого хаоса в подводной акустике начались с анализа волноводов с периодической зависимостью 5с от дистанции [12-14]. Такой выбор типа возмущения был обусловлен возможностью прямого использования известных результатов из теории динамического хаоса. Несмотря на очевидную искусственность периодической модели, с ее помощью удалось установить ряд общих свойств хаотической динамики лучей, которые остаются в силе в волноводах с более реалистичными неоднородностя-ми. Примером вполне реалистичной модели является волновод с возмущением 5с(г, г), порожденным случайными внутренними волнами со статистикой, заданной спектром Гарретта-Манка [5].

Такое возмущение обычно рассматривают при анализе акустических полей в глубоком море в рамках теории распространения волн в случайных средах [5]. Обратим внимание на то принципиальное обстоятельство, что данная теория и теория лучевого и волнового хаоса занимаются изучением полей в случайно-неоднородных волноводах с разных, дополняющих друг друга, точек зрения.

В теории распространения волн в случайных средах описание лучей (как и других характеристик волновых полей) базируется на использовании понятия статистического ансамбля реализаций среды. Статистические характеристики луча с заданными стартовыми параметрами г0 и %0 — начальная глубина и угол выхода, соответственно, — определяются усреднением по лучам с такими же начальными условиями в различных реализациях среды, образующих ансамбль. В подводной акустике данный подход является традиционным, и большинство работ по анализу стохастической лучевой структуры поля выполнены в его рамках [5, 29].

В работах по исследованию лучевого хаоса анализ влияния флуктуаций скорости звука 5с(г, г) ведется с других позиций. Хаотическое поведение лучей изучается в детерминированной среде с пространственными вариациями скорости звука, заданными отдельной реализацией случайного возмущения 5с(г, г). Поскольку при г > в-1 лучевые траектории с близкими начальными условиями становятся практически независимыми, усреднение по начальным условиям можно трактовать как статистическое. Результаты численного моделирования свидетельствуют, что найденные таким образом статистические характеристики хаотических лучей слабо зависят от конкретной реализации 5с(г, г), использованной при расчетах [30-32]. Поэтому можно ожидать, что анализ статистики лучей в отдельной реализации поля скорости звука дает результаты, близкие к тем, которые были бы получены при усреднении по ансамблю волноводов. Однако важный и очень интересный вопрос о том, насколько хорошо одна реализация неоднородностей представляет весь статистический ансамбль, изучен еще недостаточно.

В этой статье мы ставим своей целью дать читателю представление о различных аспектах проблемы лучевого хаоса в подводной акустике, рассказать о постановках конкретных задач и привести некоторые из полученных результатов. Не имея возможности (из-за ограниченности объема статьи) сделать полный обзор исследований по данной тематике, мы останавливаемся в основном на тех вопросах, в решении которых авторы принимали непосредственное участие. Вынужденную краткость изложения мы постарались компенсировать приведением подробного списка публикаций по обсуждаемой проблеме.

Материал основной части статьи расположен следующим образом. В разд. 2 дано описание математической модели неоднородного по трассе рефракционного акустического волновода. Она базируется на стандартных уравнениях теории распространения волн в линейных средах. Раздел 3 посвящен волноводу с периодическими неодно-родностями показателя преломления. Акцент

здесь делается на обсуждении роли нелинейного резонанса траекторий в возникновении лучевого хаоса и анализе структуры фазового пространства системы лучей. В разделе 4 мы переходим к более реалистичной модели подводного акустического волновода с неоднородностями, индуцированными случайными внутренними волнами. Наряду с вопросом о введении статистического описания хаотических лучей в отдельной реализации случайно-неоднородного волновода здесь обсуждаются свойства времен пробега звуковых сигналов. Значительное внимание уделено имеющему большое практическое значение эффекту образования компактных и устойчивых кластеров времен прихода хаотических лучей. В разделе 5 мы кратко обсуждаем основные направления исследований по изучению волнового хаоса в задачах, связанных с дальним распространением звука в океане.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ

2.1. Параболическое уравнение

Рассмотрим монохроматическое звуковое поле на угловой частоте О. В малоугловом приближении его комплексная амплитуда и(г, г, О) описывается параболическим уравнением [1, 33, 34]

к -ди = -2? 57 + и (г г’ «■

с весовым множителем 0(О), определяемым спектром излученного звукового импульса. Обратим внимание на тот факт, что с точки зрения проведенной выше аналогии между параболическим уравнением (1) и уравнением Шредингера интегрирование по О в (3) формально соответствует интегрированию по постоянной Планка. Именно это обстоятельство мы имели в виду, говоря во Введении об отсутствии естественного квантовомеханического аналога для поля импульсного сигнала.

2.2. Приближение геометрической оптики

В высокочастотном приближении для решения уравнения (1) можно воспользоваться методом геометрической оптики [1, 2]. При этом сигнал в точке наблюдения представляет собой суперпозицию вкладов попадающих туда лучей. Вклад одного луча имеет вид

и(г, г, О) = А(г, г)ехр [¡кБ(г, г)].

Функции А (г, г) и 5(г, г) — соответственно амплитуда и эйконал луча — выражаются через параметры лучевых траекторий. Для описания лучей воспользуемся гамильтоновым формализмом [36].

Гамильтонов формализм в переменных импульс-координата. В этих переменных луч на каждой дистанции г характеризуется координатой г (глубиной) и импульсом р = tg % , где % — текущий угол скольжения траектории. Лучевые уравнения имеют вид уравнений Гамильтона (координата г играет роль времени) [9, 12]

сг — скорость звука (около 1.5 км/с), удовлетворяющая условию |с(г, г) — сг| по теме «Физика»

ВИРОВЛЯНСКИЙ А.Л., КАЗАРОВА А.Ю., ЛЮБАВИН Л.Я. — 2008 г.

ВИРОВЛЯНСКИЙ А.Л., КАЗАРОВА А.Ю., ЛЮБАВИН Л.Я. — 2020 г.

ВИРОВЛЯНСКИЙ А.Л., КАЗАРОВА А.Ю., ЛЮБАВИН Л.Я. — 2007 г.

Дальнее распространение звука в океане

При теоретическом анализе и постановке экспериментов по дальнему распространению звука в океане на первый план выходит учет накапливающихся с дистанцией статистических эффектов, обусловленных влиянием случайных неоднородностей толщи и границ океанического волновода. С радио-физической точки зрения эти эффекты являются достаточно общими для распространения сигналов в случайно-неоднородных многомодовых (сверх-размерных) волноводах. Дополнительная сложность и специфика этих задач связана, во-первых, с совместным воздействием на распространение акустического сигнала регулярной (достаточно устойчивой во времени) стратификации подводного канала по глубине и флуктуаций на ее фоне поля скорости звука, во-вторых – с большим разнообразием пространственно-временных масштабов этих флуктуаций, которые обусловлены существенно различными физическими факторами, характерными для реального океана. Кроме того, при дальнем распространении (на масштабах в сотни километров и более) необходимо учитывать горизонтальную изменчивость регулярной (фоновой) стратификации, которая оказывается, как правило, существенной и приводит к «перестройке» самого волновода с дистанцией.

Регистрация узкополосного эхосигнала от локализованной неоднородности подводного звукового канала (подводной горы), удаленной на 150 км от приемной системы: ЗИ – зондирующий импульс, РС – сигнал реверберации, ЭС – сигнал рассеяния на неоднородности

Для исследования фундаментальных свойств звуковых полей в океанических волноводах и обеспечения масштабных натурных экспериментов по дальнему распространению звука в океане сотрудниками ИПФ построено статистическое описание модовой и лучевой структуры НЧ звукового поля в океане с учетом многократного рассеяния звука на случайных объемных неоднородностях, прежде всего на внутренних волнах и поверхностном ветровом волнении. Аналитически и численно были установлены основные закономерности дальнего распространения НЧ-звука в океанических волноводах, формирования сигналов реверберации (обратного рассеяния звука), исследовано влияние когерентных свойств многомодовых сигналов на эффективность работы антенных систем (Л. С. Долин, А. Г. Нечаев, А. Г. Сазонтов, А. И. Малеханов, А. Л. Вировлянский, М. А. Раевский). Эти результаты важны для развития теоретических основ низкочастотной акустики океана и анализа эффективности систем гидролокации и методов обработки сигналов в ситуациях, отвечающих условиям дальнего распространения звука в реальных океанических волноводах. Все эти результаты получили надежное экспериментальное подтверждение в экспедиционных исследованиях в различных регионах Мирового океана. Был выполнен значительный цикл экспериментальных и теоретических работ по изучению особенностей формирования интерференционных структур тональных и импульсных сигналов (Е. Ф. Орлов, Г. А. Шаронов, В. Н. Голубев, Ю. В. Петухов, Е. Л. Бородина).

Опираясь на большой опыт теоретических и экспериментальных работ по дальнему распространению звука в глубоком океане, в 1990-х годах ИПФ принял участие в ряде совместных с американскими учеными исследований по проблеме акустической термометрии океанического климата (АТОК).

Наиболее значимым участие ИПФ оказалось в двух пилотных экспериментах, выполненных в Северном Ледовитом океане. Для реализации второго из них, получившего название ACOUS (Arctic Climate Observations using Underwater Sound), в ИПФ под руководством Б. Н. Боголюбова был создан уникальный по своим характеристикам автономный излучающий комплекс, его установили на якорь в районе Земли Франца-Иосифа на глубине 60 м. Автономная приемная антенна была установлена американскими специалистами в море Линкольна у северного побережья Канады (1250 км от излучателя). Согласно программе эксперимента автономный комплекс ИПФ излучал сигналы специального вида на несущей частоте 20,5 Гц для реализации схемы временной селекции импульсов, распространяющихся по разным модам арктического канала по трассе распространения сигнала. Эксперимент ACOUS позволил получить уникальные данные о сезонных и климатических вариациях состояния глубинных арктических вод и оказался первым экспериментом, продемонстрировавшим принципиальную возможность и облик системы долговременной акустической термометрии на масштабах океанического бассейна.

Установка излучающего комплекса ИПФ РАН с борта НИС «Академик Федоров» (Северный Ледовитый океан)

В тесной связи с рядом международных проектов по программе АТОК, выполненных в 1990-х годах в различных акваториях глубокого океана на трассах протяженностью до нескольких тысяч километров, в тематике работ ИПФ нашло отражение сравнительно новое направление в НЧ-акустике океана, связанное с изучением явлений лучевого и волнового хаоса при сверхдальнем распространении звука в океане. Исследования, выполненные группой А. Л. Вировлянского, позволили построить статистическое описание хаотической динамики лучей и ее проявлений в вариациях модовой структуры поля в подводном звуковом канале на трассах 1000 км и более. Сотрудники ИПФ применили развитый подход для построения количественной теории эффекта кластеризации звуковых импульсов, приходящих в некоторую точку наблюдения по многочисленным хаотическим лучевым траекториям. Потепление (в среднем) или, напротив, охлаждение океанических вод приводит к соответствующему тренду в изменениях времен прихода отдельных кластеров, который может быть зарегистрирован на фоне относительно краткосрочных флуктуаций (прежде всего сезонных).

Несмотря на то, что развитый лучевой хаос наблюдается лишь на дистанциях около 1000 км, проявления сложной динамики траекторий в неоднородном океаническом волноводе имеют место и на более коротких трассах. Одним из них является эффект расщепления волнового пучка в присутствии возмущений среды, вызванных случайными внутренними волнами. В настоящее время в ИПФ продолжается изучение хаотических явлений в акустике океана. Одна из задач этой работы – оценка потенциальных возможностей дистанционного зондирования океана на сверхдлинных трассах. Другая задача – анализ влияния хаотической динамики лучей на возможности управления звуковыми полями в случайно-неоднородных подводных волноводах.

Эффект расщепления пучка с ростом дистанции в случайно-неоднородном подводном звуковом канале

Проявления волнового хаоса в микроволновых, упругих и LCR-биллиардах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Максимов Дмитрий Николаевич

Проявления волнового хаоса в микроволновых, упругих и ЬСИ-биллиардах

01 04 07 — физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Институте г. Красноярск

физики им. Л. В. Киренского СО РАН,

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Садреев А. Ф.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Логинов В М.

кандидат физико-математических наук, Дзебисашвили Д. М.

Ведущая организация’ Тихоокеанский океанографический инстит

им. В. И. Ильичева ДВО РАН, г. Владивосток

Защита состоится 2008 года в ш 1Т»часов на засед*

нии диссертационного совета Д 003.055.02 при Институте физики им. Л. Киренского СО РАН по адресу. 660036, г. Красноярск, Академгородок, И1 статут физики им Л В. Киренского СО РАН, главный корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики и Л В. Киренского СО РАН

Автореферат разослан «__»____ 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук , ‘ Втюрин А.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Термин «волновой хаос» охватывает широкий круг явлений характерных, для динамики хаотических систем, как квантовых, так и классических Следует отметить, что рассматриваемые явления впервые были исследованы в рамках теории квантового хаоса ¡1,2] Под теорией квантового хаоса мы будем подразумевать теорию систем, которые в своем классическом пределе демонстрируют хаотическую динамику. Основной чертой квантовых хаотических систем является универсальность статистических свойств, не зависящая от их физической природы Примерами такой универсальности являются универсальность распределения ближайших межуровневых расстояний в спектре хаотических систем (3), гауссова статистика собственных функций [4]. универсальные флуктуации проводимости [5| и т.д

Благодаря достижениям нанотехнологпи в области методов молекулярно-лучевой эпнтаксии и литографии в 1980-х годах появилась возможность создавать различные искусственные полупроводниковые структуры с заданной геометрией, масштабы длин и энергий в которых позволили наблюдать целый ряд не исследованных раннее квантовых эффектов. Поскольку при температурах порядка тК неупругое рассеяние значительно подавленно, длина фазовой когерентности электрона превышает размер такой структуры Таким образом, динамика электрона в таких системах определяется только геометрией системы и «чистой» квантовой механикой Примером таких систем являются биллиарды — квантовые ящики с бесконечно высокими потенциальными стенками Биллиарды как динамические системы приобрели популярность, когда стало ясно, что самым наглядным примером динамической системы с перемешиванием траекторий является биллирад отрицательной кривизны Последующие исследования показали, что биллиарды с фокусирующими участками также могут приводить к перемешиванию. Трудно указать такой биллиард (конечно, не очень правильной формы), который не создавал бы хаотических траекторий частиц Биллиарды с регулярными траекториями являются редким исключением [6| Регулярные биллиарды в первую очередь отличаются от хаотических тем. что количество степеней свободы движущейся в них частицы равно количеству интегралов движения ¡1] С точки зрения квантово-механического описания rvo приводит к том\. что \ равнение Шродингера может быть решено переходом в представление jthx интегралов движения. Поэтому такие би iлиарды называют также интегри-

Рис 1. Биллиарды а)хаотический, Ь)регулярный

руемыми Возможные формы биллирадов показаны на Рис 1.

Однако, экспериментальное изучение квантовых биллиардов встречает целый ряд трудностей, обусловленных их сложной физической природой Так, наблюдение многих эффектов предсказанных в теории идеальных одноэлек-тронных систем может осложняться электрон-фононным и кулоновским взаимодействием, а также погрешностями измерения при помощи сканирующего электронного микроскопа. Неудивительно, что в такой ситуации целый ряд исследователей обратили внимание на классические системы, динамика распространения волн в которых эквивалентна волновой динамике электрона

Волновая природа электрона, как оказалось, имеет непосредственную аналогию с другими волновыми процессами. Например, уравнения, описывающие электрон в двумерных наноструктурах в баллистическом режиме, эквивалентны уравнениям электромагнитного ТМ поля в плоско-параллельных волноводах, что позволило наблюдать в них целый ряд эффектов характерных для квантового хаоса [7, 8] Эта эквивалентность также открывает широкие возможности тестирования квантовых электронных устройств в макроскопических волноводных системах Среди полученных результатов, близких к тематике диссертационного исследования отметим универсальность распределения волновой функции для открытых биллиардов |9) и экспериментальное наблюдение вихревой структуры линий плотности потока энергии в эксперименте с рассеянием волн на открытом биллиарде [10, 11).

Упругие системы также привлекают к себе внимание в рамках теории волнового хаоса Хотя в случае упругих систем отсутствует полная эквивалентное 1Ь с динамикой волновых процессов в квантовых дотах, динамика колебаний в упру! и\ образцах, выполненных в форме хаотических биллиардов, демонстрирует все основные черш хаотических систем |12. 131 В настоящий момент изучение хаотической динамики в 1еории \ пр\тости представляет самостоятельный интерес п находит широкий спектр применений |14|

В связи с вышесказанным становиться понятен интерес к дальнейшему исследованию хаоса в классических системах, таких как микроволновые и упругие биллиарды, а также поиск других классических систем, колебания в которых несут в себе проявления волнового хаоса [15|.

Цель работы. Целью данной диссертации является изучение новых проявлений волнового хаоса в ряде классических колебательных систем- микроволновых биллиардах, электрических резонансных цепях и упругих пластинах. При помощи методов численного моделирования, мы исследуем волновой хаос в биллиардах, представленных вышеупомянутыми системами, а также исследуем возможность аналитического описания хаоса в таких системах в рамках теории случайных гауссовых волн.

Основные задачи работы. Для достижения сформулированных выше целей были поставлены следующие задачи.

1 Исследовать новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах:

а) получить фазовую корреляционную функцию случайных полей, описывающих распространение волн в хаотических биллиардах;

б) исследовать статистические свойства тензора напряжений в случайном поле гауссовых волн.

2 Рассмотреть возможность появления волнового хаоса в электрических резонансных цепях

а) рассмотреть возможные схемы электрических резонансных цепей эквивалентных квантовым биллиардам;

б) рассмотреть влияние таких черт электрических резонансных цепей как дискретность, флуктуаций величин импедансов, омическое сопротивление элементов цепи на характер хаотических колебаний

3 Рассмотреть статистические свойства собственных функций, описывающих колебания упругих пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов

а) ¿датировать меюд случайных i ад особых волн для описания хаоса в изочропных упругих средах

б) в рамках адаптированного подхода по п чпть корреляционную функцию плотности энергии колебаний

с) проверить полученные результаты на численном эксперименте.

4. Исследовать статистические свойства нодальных точек в случайное гауссовом поле упругих деформаций.

а) рассмотреть топологические свойства нодальных точек в случайно(1 поле упругих деформаций,

б) получить корреляционные функции нодальной плотности и тополо гического заряда.

б) получить распределение ближайших расстояний между нодальным^ точками.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной ра боте были исследованы новые проявления волнового хаоса в микроволновы биллиардах Были получены фазовая корреляционная функция и распреде ления компонент тензора напряжений случайных гауссовых волн, описывак> щих собственные колебания микроволнового поля в хаотических биллиардах Впервые были предложены электрические резонансные цепи, эквивалент ные квантовым биллиардам Было показано, что случайное поле напряже ния, описывающие такие системы, обладает универсальными статистически ми свойствами, характерными для микроволновых и квантовых хаотически систем, несмотря на ряд характерных черт, обусловленных их физическо! природой, таких как дискретность, флуктуации величин импедансов и омиче ское сопротивление элементов цепи Таким образом, мы даем утвердительны ответ на вопрос о возможности моделирования хаотической динамики в элек трических резонансных цепях Для описания хаотической динамики упруги систем нами впервые была эффективно применена модель случайных волн форме, адекватно описывающей статистические свойства собственных функ ций внутренних колебаний упругих биллиардов, что подтверждается данны ми численных расчетов. Также впервые были исследованы статистически« свойства нодальных точек в случайном поле упругих деформаций Была про ведена классификация нодальных точек и исследованы их статистическш свойства, рассчитано распределение ближайших расстояний между ними.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертапи онной работы докладывались на семинарах отдела теоретической физики Пс результатам диссертации опубликовано 5 работ

Личный вклад автора. Личный вклад автора состоит в проведешп аналитических расчетов по ¡.емашке диссертационного исследования а гак

же в выполнении численных расчетов, обеспечивающих достоверность полученных результатов

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 87 страниц, включающих 31 рисунков и список литературы из 92 наименования.

II. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели исследования, показана научная новизна и практическая значимость результатов работы, описана структура диссертации

В первой главе приводится краткий обзор экспериментальных и теоретических работ по волновому хаосу в классической физике Основное внимание уделено хаосу в микроволновых и упругих биллиардах, являющихся центральным предметом изучения диссертационной работы Также рассматривается возможность проявления волнового хаоса в электрических резонансных цепях Приводится обзор статистических свойств собственных функций волновых уравнений описывающих динамику волн в биллиардах Рассматривается аналогия между хаотическими волновыми системами различной физической природы В частности, упоминаются такие универсальные свойства хаотических систем, как гауссова статистика собственных функций и универсальное распределение межуровневых расстояний

Отдельный раздел главы посвящен свойством нодальных точек в случайных гауссовых полях Объясняется сущность нодальных точек как топологических дефектов в комплексных скалярных и вещественных векторных нолях Приводится обзор работ по теории нодальных точек в квантовых, микроволновых и упругих системах. Обосновывается актуальность исследования нодальных точек собственных функций описывающих внутренние колебания упругих пластин

Во второй главе рассматривается хаос в микроволновых биллиардах Особое внимание уделяется аналогии между квантовыми и микроволновыми системами. В связи с -шш следует отмстить, что обсуждаемые ре *ультаты в одинаковой мере справедливы как для ТМ мод плоскопараллельных металлических резонаторов выполненных в форме хаотических биллиардов, так и дпя квантовых биллиардов, динамика электрона в которых описывается уравнением Шрёдингера.

Волновой хаос иггледустея в рамках теории случайных гауссовых волн |17| Хаотическая во шовая функция являющаяся решением \равнения

Гельмгольца, в таком подходе записывается в виде суперпозиции плоских волн со статистически независимыми случайными фазами, равномерно распределенными н интервале [0,2ж):

где др — случайные фазы, к — волновое число, тр — случайные векторы единичной длинны. В первом разделе главы рассматриваются статистические свойства фазы в(х) случайной функции (1), представленной в форме т/>(х) = |0(х)|ехр[гб(х)] На примере вычисления фазовой корреляционной функции случайных гауссовых волн

г(в) = (ехр[г0(х + в) — 10(х)]), (2)

демонстрируется техника интегрирования по скоррелированым гауссовым полям Обсуждаются основные свойства фазовой корреляционной функции (2). В первую очередь мы отмечаем то, что флуктуации фазы волновой функции вносят основной вклад в статистические свойства функции (1) Рассматривается зависимость фазовой корреляционной функции от параметра открытости системы (биллиарда) е. Для внутрибиллиардной волновой функции вида 1р = и + п\ где и. и-вещественные случайные поля е определяется соотношением е2 = (г,2)/(и2) В связи с фнуктуациями коэффициента прохождения и параметра открытости в задаче о рассеянии волн на хаотическом биллиарде, внутрибиллиардная часть функции рассеяния может описываться как реальным 6 = 0. так и комплексным гауссовым полем е > 0 Предел е = 1 соответствую эффективному открыванию системы, описывающейся функцией вида (1) Для фазовой корреляционной функции в пределе е = 0 получен следующий результат-

В пределе е = 1 имеем:

Где Е и К-эп пиитические шттрачы первого и второго рода соответственно а С(ч) ампчипдная корреляционная функция С(з) = Л-бестечева функция первого рода Корреляционные функции (3 4) показаны на Рис 2

Pin 2 Фазовые корреляционные функции (3) — иприх-пунктирная линия (4) — штриховая линия Лмп нпудная корреляционная функция C(s) = JoC’O — сплошная линия

в сравнении с амплитудной корреляционной функцией C(s) — Jo(s) На Рис 2 видно что фазовая корреляционная функция’ во-первых, слабо зависит от параметра открытости е, во-вторых, близка к амплитудной корреляционной функции что иллюстрирует наше утверждение об определяющей роли флуктуации фазы в статистических свойствах (1) Также приводятся результаты численных расчетов подтверждающие полученные результаты

Во втором разделе главы рассматривается аналогия между тензором напряжений в электродинамике и квантовомеханическим тензором напряжений, введенным в гидродинамической формулировке квантовой механики |16] Обсуждается физический смысл квантового тензора напряжений Приводится вывод функции распределения компонент тензора напряжений собственных функций, описывающих рассеяние на хаотическом биллиарде Приведено описание численного эксперимента но стационарному рассеянию волн на хаотическом биллиарде, подтверждающего справедливость полученных результатов

В третьей главе проводиться исследование хаоса в электрических резонансных цепях Предложено два типа электрических резонансных цепей эквпвален i ним квантовым хаотическим биллиардам Эквивалст пость уста-навливартся па уровне ана югии между системой уравнений описывающих

Рис 3 Пример электрической резонансной цепи, которая .может служить эквивалентом квантового биллиарда

колебания в такой цени (ЬСИ-биплиарде):

— — + Кл-1 — Кл + — Ка + К-1, — К.,] — = о, (5)

где 21, гс-импедансы соответствующих элементов цепи, — напряжение на г, у узле цепи, и уравнением Гельмгольца записаном в приближении сильной связи

•фи,+х + + ф1+1й + + (а20Е — 4)^,3 = 0, (6)

где во — шаг сетки, при этом граничные условия Дирихле на границе произвольной формы могут быть получены заземлением соответствующих узлов цепи Схема такой цепи показана на Рис 3 Основным содержанием главы является обсуждение ряда свойств электрических резонансных цепей, которые могут привести к отличию статистических свойств собственных функций, описывающих распределение напряжения на узлах цепи от волновых функций квантовых систем. Приводятся результаты численного исследования трех таких свойств: дискретности электрической резонансной цепи, погрешности в определении величины импедансов ее элементов и влияния активного сопротивления элементов цени Показано, что дискретность и флуктуации величин импедансов не вносят существенного вклада в статистические свойства собственных колебаний, в то время как наличие активного сопротивления приводит к необходимости описания колебаний комплексными случайными полями что эквивалентно рассмотрению биллиардов открытых за счет присоединения к ним одного или нескольких полубесконечных волноводов

В четвертой глаце рассматривается хаос во внутренних собственных колебаниях тонких упругих пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов Описание хаоса строится в рамках модели случайных гауссовых волн Рассматриваются статистические свойства решений уравнений Гельмгольца

где ф. А — потенциалы Гельмгольца, /с; = о>/с;. /с, = и/с> — волновые числа для продольно и поперечно поляризованных волн, соответственно и ш1 = р№/Е, а П — частота колебанй, где Е — модуль Юнга. В двумерном случае потенциал А имеет только одну ненулевую компоненту Лг, а безразмерные продольная и поперечная скорости звука сц даются выражениями

где сг — коэффициент Пуассона Центральный момент нашего подхода состоит в предположении, что оба потенциала являются статистически независимыми случайными гауссовыми функциями, которые записываются следующим образом:

— £ ехр[г(к(пх + в1п)] (9) » >1=1

ири этом 9и, являются стагисгически независимыми случайными фазами Волновые векторы к(п и к^ равномерно распределены на окружностях радиусов к[ и к^ соответственно Вектор деформации, описывающий колебания упругих систем дается соотношениями.

и = н; + и(, и; = Уг/.’. и,, = V х А, (10)

что позволило рассчитать корреляционные функции интенсивности и амплитуды колебаний Для подтверждения справедливости наших результатов был проведен численный эксперимента в котором были рассчитаны внутренние колебательные моды тонкой упри ой пластинки выполненной в форме хао-шческо! о биллиарда и проведен численный расчет корреляционной функции

плотности энергии колебаний. Численный эксперимент показал, что корреляционная функция плотности энергии колебаний соответствует результату полученному нами в теории случайных волн:

P(s) = 1 + i[(7JoM + (1 — 7)Jo(ks)>2

где Jo, /2 — бесселевы функции первого рода. Таким образом было подтверждено предположение о случайных гауссовых волнах в упругих биллиардах Нами также было показано, что параметр 7, присутствующий в выражении (И) и определяющий вклады от волн продольной и поперечной поляризаций, однозначно определяется эффектом двойного лучепреломления и независимо от типа граничных условий (свободная или зафиксированная граница) связан со скоростями звука следующим соотношением:

В пятой главе рассматриваются статистические свойства нодальных точек случайного поля деформаций внутренних колебательных мод тонких упругих пластин (биллиардов) (Гл 4), т е. точек в которых двумерный вектор деформации u(:r, у) = \и<х, у), v

«(х0,уо) = о, и(х0,2/о) = 0. (13)

Примеры случайных полей показаны на Рис. 4, 5. В первую очередь рассматриваются топологические свойства нодальных точек. Нодальные точки в векторном поле характеризуются индексом Пуанкаре (топологическим зарядом) |18| В случайном гауссовом поле структурно стабильными являются только топологические заряды с индексами qázl. Таким образом, для индекса Пуанкаре имеем-

где Ait2 — собственные значения матрицы М в окрестности нодальной точки хо- В зависимости от этих собственных значений нодальные точки подразделяются на четыре типа |18j. 1) центры, н случае мнимых Aj 2 с индексом q = 1. 2) упы, с реальными Ai,2 одного знака и q = 1: 3) фокусы с комплексными Aj — и q = 1 , и 4) седча с реальными А^г противоположных

ч > х » \ ✓ ‘ — г 1 у м ш

‘Т Ы I \ I I I > «М1ГЦ1Н

Рис. 4. Случайное ноле упругих деформаций полученное сложением 100 поперечно поляризованных волн, а = 0.345. Стрелки показывают вектор деформации Также показаны нодальные линии компонент вектора деформации, на пересечении которых находятся модальные точки, о-центры, *-седла.

но знаку значений и д = — 1. Собственные значения матрицы М выражаются следующим образом:

где введено следующее обозначение:

£> = К + г.’у)2 -4detM (16)

Если 9=1, И > 0, то нодальная точки классифицируется как узел, в случае 9=1, О , , ‘ г

! 1 I ] 1 1 I VI I ( . \ Ч ‘ ‘ , \ 1 / Г

\ \ М им / I Г , . V ‘ . V

V \ \ \ \ Г | / / „ .Ч___, ^

Рис 5 Случайное поле упругих деформаций полученное сложением 100 продольно поляризованных волн, ст = 0 345 Стрелки показывают вектор деформации Также показаны нодальиые линии компонент вектора деформации, на пересечении которых находятся но-дальные точки -|

Расчет модальной плотности осуществляется путем интегрирования по скор-релированным гауссовым полям и дает следующий результат.

2тг/^2 + 3(1 — 1)к1^к1 + (1 — 7

это выражение не имеет предела соответствующего плотности нодальных точек для функции Берри (1) [19| р =

Нами также дается вывод корреляционной функции топологического заряда и описана методика численного расчета корреляционной функции но-дальной плотности [19], которая определяется следующим образом

где в — расстояние между скоррелированными точками Результат такого расчета показан на Рис 6 в сравнении с корреляционной функцией нодальной плотное!и для функции Берри (1) На Рис 6 видно, что несмотря на различие в физической природе сл\ чайных ночей, корреляционные функции близки др\ г к др\ I у

Рис б Корреляционная функция нодальной тотности (20) случайного гауссова поля упругих деформаций — сплошная линия, а = 0 345 Для сравнения штриховой линией показана корреляционная функция нодальной плотности для функции Берри (1) |19|

В последнем разделе главы обсуждаются два приближенных подхода для построения распределения ближайших расстояний между нодальными точками. Приводятся данные численных расчетов, показывающие, что вероятность появления нодальной точки в качестве ближайшего соседа данной точки может быть с хорошей точностью аппроксимирована распределением Пуассона со средним значением заданным корреляционной функцией нодальной плотности Для учета конкуренции между нодальными точками за право быть ближайшим соседом данной была также рассмотрена аппроксимация биномиальным распределением Численно показано что такой подход является наиболее точным в диапазоне расстояний, близких к среднему значению. Отмечен тот факт, что нодальные точки в случайном поле упругих деформаций не являются в полной мере случайными что объясняется корреляциями но дальной плотности (Рис 6)

В заключении сформулированы основные результаты работы и краткие выводы

III. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ АВТОРОМ НА ЗАЩИТУ

Исследованы новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах.

1. Получена фазовая корреляционная функция случайных гауссовых волн, описывающих рассеяние на хаотическом биллиарде.

2. Получены распределения компонент тензора напряжений в случайном поле гауссовых волн.

Впервые были численно исследованы электрические резонансные цепи эквивалентные квантовым биллиардам (1ХЖ-би л лиарды)’

1 Предложены два типа электрических резонансных цепей, эквивалентных квантовым хаотическим биллиардам

2. Рассмотрено влияние на статистические свойства собственных функций ЬСК-биллиардов таких черт электрических резонансных цепей как дискретность, флуктуации величин импедансов. омическое сопротивление элементов цепи Как было показано, дискретность цепи и флуктуации величин импедансов не вносят существенного вклада в статистические свойства собственных функций закрытых хаотических биллиардов, в то время как введение омического сопротивления приводит к необходимости описания хаотических колебаний при помощи комплексных гауссовых полей, что эквивалентно открытым квантовым биллиардам

В рамках теории случайных гауссовых волн рассмотрены статистические свойства собственных функций, описывающих внутренние колебания тонких упругих пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов:

1 Для описания хаоса во внутренних колебаниях тонких упругих пластин мы предложили рассмотреть потенциалы Гельмгольца в виде двух некоррелированных случайных гуссовых функций, что привело к случайному нолю деформации, являющемуся результатом интерференции продольно, и поперечно поляризованных плоских волн со случайными фазами

2 В рамках предложенною подхода мы получили корреляционные функции амплитуды и плотности энергии колебаний с учетом двойного л\че-преломления на границе биллиарда

3 Численно найдены собственные функций упругого биллиарда, выполненного в форме стадиона Бунимовича и рассчитана корреляционная функция плотности энергии колебаний Совпадение результатов подтвердило справедливость предположения о том, что потенциалы Гельм-гольца являются статистически независимыми случайными функциями.

Впервые, исследованы статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций’

1 Рассчитана плотность подальных точек в случайном поле упругих деформации, а также проведена их топологическая классификация. Рассчитана плотность всех типов топологических дефектов в зависимости от упругих постоянных.

2. Аналитически рассчитана корреляционная функция топологического заряда Численно рассчитана корреляционная функция нодальной плотности

3 Исследовано распределение ближайших расстояний между нодальнымн точками. На численном эксперименте было показано, что вероятность появления нодальной точки в качестве ближайшего соседа данной может быть с хорошей точностью аппроксимирована распределением Пуассона со средним значением заданным корреляционной функцией нодальной плотности Для учета конкуренции между нодальными точками за право быть ближайшим соседом данной была также рассмотрена аппроксимация биномиальным распределением Численно показано, что такой подход является наиболее точным в диапазоне расстояний, близких к среднему значению

IV. КРАТКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получена фазовая корреляционная функция и распределение компонент тензора напряжений случайных гауссовых волн, описывающих хаотические колебания в квантовых и микроволновых биллиардах. Результаты подтверждены численно и экспериментально

2. Предложено два типа электрических резонансных цепей, эквивалентных квантовым и микроволновым хаотическим биллиардам и показана возможность возникновения во шовот хаоса в э ¡екгрических резонансных цепях (ЬСГ1-биллплрдах)

3 Впервые предложено рассмотреть потенциалы Гельмгольца как статистически независимые случайные гауссовы функции для описания хаоса в продольных колебаниях тонких упругих пластин

4. Получены корреляционные функции амплитуды и плотности энергии хаотических колебаний с учетом двойного лучепреломления на границе биллиарда. Справедливость полученного результата подтверждена численным экспериментом.

5 Исследованы статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций, проведена их топологическая классификация, рассчитана плотность всех типов топологических дефектов Получены корреляционные функции топологического заряда и нодаль-ной плотности Рассчитано распределение ближайших расстояний между нодальными точками.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Е N Bulgakov, D N Maksimov. A F. Sadreev. Electric circuit networks equivalent to chaotic quantum billiards //Phys Rev E.- 2005-T 71, №4. 046205-7

2 D N Maksimov, A. F Sadreev. Gaussian random waves in elastic media. / / Письма в ЖЭТФ,- 2007 — T.86, №9.- C.670-774

3 D N Maksimov, A F. Sadreev. Phase correlation function of complex random Gaussian fields // Europhys. Lett — 2007.- T.80. №5,- C.50003-50006

4 D. N Maksimov, A. F Sadreev Statistics of nodal points of in-plane random waves in elastic media // Phys Rev E- 2008 — T77, №5 — 056204-7

5 К-F. Bcrggren, D N Maksimov, A F. Sadieev, R. Hohmann, U Kuhl, and H — J Stockmann Quantum stress m chaotic billiards // Phys. Rev. E -2008-T 77 №6.-006209-11

Список цитируемой литературы

|lj Х.-Ю Штокманн. Квантовый хаос: введение- Москва. Физматлит, 2004 — 376с.

[2| II. В Елютин Проблема квантового хаоса. // УФН — 1988.- Т. 155, №3.-С.397-442.

[3] О Bohigas, М J Giannoni, and С Schnnt Characterization of Chaotic Quantum Spectra and Universality of Level Fluctuation Laws. // Phys. Rev Lett.- 1984-T 52, №1 — С 1-4.

¡4j S W McDonald and A. N Kaufmann Wave chaos m the stadium. Statistical properties of short-wave solutions of the Helmholtz equation. /,/ Phys Rev. A — 1988.- T37, №8 — C.3067-3086

[5] H U Barangei and P. A. Mello Mesoscopic transport through chaotic cavities: A random S-matrix theory approach // Phys. Rev Lett.- 1994 -T 73. №1,- С 142-145.

[6| Г M Заславский P. 3 Сагдеев Введение в нелинейную физику от маятника до турбулентности и хаоса — Москва: Наука 1988 — 368с.

|7] H.-J Stockmann and J. Stein. Quantum chaos m billiards studied by microwave absorption. // Phys Rev. Lett — 1990 — T.64. №19,- С 2215-2219

|8] S Sndhai Experimental observation of scat red eigenfunctions of chaotic microwave cavities // Phys Rev Lett — 1991 — T67 №7- С 785-788

|9| P Seba, F. Haake, M. Kus, M Barth, U Kuhl and H -J Stockmann. Distubution of the wave function inside chaotic partially open systems // Phys Rev E.- 1997- T 56, №3,- C.2680-2686

|10| A.I Saiciiev, H ishio, A. F. Sadreev, and К -F Berggren Statistics of interior current distributions in two-dimensional open chaotic billiards. // J Phys. A. Math Gen — 2002 — T 35 — L87-L93.

|ll| M Baith and H-Л Stockmann Current and voitex statistics in microwave bilhauls Ph\ь Rev E — 2002,- T65, №6 — 66208-7.

|12| R L Weavei Spectral statistcs m elastodinanurs .1 Acoust Soc Am-1989 — T 85. №3 — 1005-1013

[13] О. Legrarid. С Schimdt, and D. Sornette. Quantum Chaos Methods Applied to High-Frequency Plate Vibrations // Europhys. Lett.- 1992.- T.18, №2,-C.101-106.

[14| G. Tanner and N. Sondergaard. Wave chaos in acoustics and elasticity. // J. Phys. A: Math Theor.- 2007.- T.40, №50 — R443-R509.

[15] K.-F Berggren, A. F. Sadreev Chaos in Quantum Billiards and Similarities with pure-tone random models m acoustics, microwave cavities, and electric networks. Proceedings of the Conference on Mathematical Modelling of Wave Phenomena, 2002, edited by B. Nilsson and L. Fishman Vaxjo University Press, Vaxjo pp 133-147.

[16] В. Паули Труды no квантовой теории. Квантвая теория Общие принципы волновой механики. Статьи 1920-1928 — Москва Наука, 1975 -688с

[17| М V Berry Regular and irregular semiclassical wavefunctions // J Phys. A: Math. Gen — 1977 — T 10, №10.- C.2083-2091 .

¡18] Б. А. Дубровин С П Новиков. А Т Фоменко. Современная геометрия, -Москва: Наука, 1979,- 760с

[19] A I. Saichev К -F. Berggren, and A F. Sadreev Distribution of nearest distances between nodal points for the Berry function in two dimensions //’ Phys Rev. E — 2001.- T.64, №3 — 036222-11

Подписано к печати 20- 0^,2008 Тираж 60 экз , у.-и л.Т Заказ №16

Отпечатано на ротапринте в типографии Института, физики СО РАН 660036, Красноярск, Академгородок, ИФ СО РАН

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Волновой хаос в биллиардах.

1.2. Нодальные точки в случайных гауссовых полях.

Глава 2. Волновой хаос в микроволновых биллиардах

2.1. Случайные гауссовы волны и их свойства.

2.2. Тензор напряжений в хаотических микроволновых биллиардах

Глава 3. Волновой хаос в LCR биллиардах

3.1. Электрические резонансные схемы эквивалентные квантовым биллиардам

3.2. Волновой хаос в электрических резонансных цепях.

Глава 4. Случайные гауссовы волны в изотропных упругих средах

4.1. Случайные гауссовы волны в упругой среде

4.2. Двойное лучепреломление на границе биллиарда.

4.3. Численный эксперимент.

Глава 5. Нодальные точьки в случайном поле упругих деформаций

5.1. Нодальные точки и их свойства.

5.2. Статистические свойства нодальных точек.

5.3. Распределение ближайших расстояний между нодальными точками

Актуальность работы. Термин «волновой хаос «охватывает широкий круг явлений, характерных для динамики хаотических систем, как квантовых, так и классических. В первую очередь остановимся на теории квантового хаоса [1, 2]. Под теорией квантового хаоса подразумевается теория систем, которые в своем классическом пределе демонстрируют хаотическую динамику. Основной чертой квантовых хаотических систем является универсальность статистических свойств, не зависящая от их физической природы. Примерами такой универсальности являются: распределение ближайших межуровне-вых расстояний в спектре хаотических систем [3], гауссова статистика собственных функций [4|, универсальные флуктуации проводимости [5] и т.д.

Благодаря достижениям нанотехнологии в области методов молекулярно-лучевой эпитаксии и литографии в 1980-х годах [6, 7] появилась возможность создавать различные искусственные полупроводниковые структуры с заданной геометрией, масштабы длин и энергий в которых позволили наблюдать целый ряд не исследованных раннее квантовых эффектов. Поскольку при температурах порядка тК неупругое рассеяние значительно подавленно, длина фазовой когерентности электрона превышает размер такой структуры. Таким образом, динамика электрона в таких системах определяется только геометрией системы и «чистой» квантовой механикой. Примером таких систем являются биллиарды — квантовые ящики с бесконечно высокими потенциальными стенками. Биллиарды как динамические системы приобрели популярность, когда стало ясно, что самым наглядным примером динамической системы с перемешиванием траекторий является биллирад отрицательной кривизны. Последующие исследования показали, что биллиарды с фокусирующими участками также могут приводить к перемешиванию. Трудно указать такой биллиард (конечно, не очень правильной формы), который не создавал бы хаотических траекторий частиц. Биллиарды с регулярными траекториями являются редким исключением [8]. Регулярные биллиарды в первую очередь отличаются от хаотических тем, что количество степеней свободы движущейся в них частицы равно количеству интегралов движения [1]. С точки зрения квантово-механического описания это приводит к тому, что уравнение Шрёдингера может быть решено переходом в представление этих интегралов движения. Поэтому такие биллиарды называют также интегрируемыми.

Однако, экспериментальное изучение квантовых биллиардов встречает целый ряд трудностей, обусловленных их сложной физической природой. Так, наблюдение многих эффектов, предсказанных в теории идеальных одно-электронных систем, может осложняться электрон-фононным и кулоновским взаимодействием, а также погрешностями измерения при помощи сканирующего электронного микроскопа. Неудивительно, что в такой ситуации целый ряд исследователей обратили внимание на классические системы, динамика распространения волн в которых эквивалентна волновой динамике электрона.

Волновая природа электрона, как оказалось, имеет непосредственную аналогию с другими волновыми процессами. Например, уравнения, описывающие электрон в двумерных наноструктурах в баллистическом режиме, эквивалентны уравнениям электромагнитного ТМ поля в плоско-параллельных волноводах, что позволило наблюдать в них целый ряд эффектов характерных для квантового хаоса [9, 10]. Эта эквивалентность также открывает широкие возможности тестирования квантовых электронных устройств в макроскопических волноводных системах. Среди полученных результатов, близких к тематике диссертационного исследования, отметим: универсальность распределения волновой функции для открытых биллиардов [11] и экспериментальное наблюдение вихревой структуры линий плотности потока энергии в эксперименте с рассеянием волн на открытом биллиарде [12, 13].

Упругие системы также привлекают к себе внимание в рамках теории волнового хаоса. Хотя в случае упругих систем отсутствует полная эквивалентность с динамикой волновых процессов в квантовых дотах, динамика колебательных процессов в упругих образцах, выполненных в форме хаотических биллиардов, демонстрирует все основные черты хаотических систем [14, 15]. В настоящий момент изучение хаотической динамики в теории упругости представляет самостоятельный интерес и находит широкий спектр применений [16].

В связи с вышесказанным становиться понятен интерес к дальнейшему исследованию хаоса в классических системах, таких как микроволновые и упругие биллиарды, а также поиск других классических систем, колебания в которых несут в себе проявления волнового хаоса [17].

Цель работы. Целью данной диссертации является изучение новых проявлений волнового хаоса в ряде классических колебательных систем: микроволновых биллиардах, электрических резонансных цепях и упругих пластинах. При помощи методов численного моделирования, мы исследуем волновой хаос в биллиардах, представленных вышеупомянутыми системами, а также исследуем возможность аналитического описания хаоса в таких системах в рамках теории случайных гауссовых волн.

Основные задачи работы. Для достижения сформулированных выше целей были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах: а) получить фазовую корреляционную функцию случайных полей, описывающих распространение волн в хаотических биллиардах; б) исследовать статистические свойства тензора напряжений в случайном поле гауссовых волн.

2. Рассмотреть возможность появления волнового хаоса в электрических резонансных цепях: а) рассмотреть возможные схемы электрических резонансных цепей, эквивалентных квантовым биллиардам; б) рассмотреть влияние таких черт электрических резонансных цепей как дискретность, флуктуации величин импедансов, омическое сопротивление элементов цепи на характер хаотических колебаний.

3. Рассмотреть статистические свойства собственных функций, описывающих колебания упругих пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов: а) адаптировать метод случайных гауссовых волн для описания хаоса в изотропных упругих средах; б) в рамках адаптированного подхода получить корреляционную функцию плотности энергии колебаний; с) проверить полученные результаты на численном эксперименте.

4. Исследовать статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций: а) рассмотреть топологические свойства нодальных точек в случайном поле упругих деформаций; б) получить корреляционные функции нодальной плотности и топологического заряда; б) получить распределение ближайших расстояний между нодальны-ми точками.

Основные результаты и положения выносимые автором на защиту.

Исследованы новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах.

1. Получена фазовая корреляционная функция случайных гауссовых волн, описывающих рассеяние на хаотическом биллиарде.

2. Получены распределения компонент тензора напряжений в случайном поле гауссовых волн.

Впервые были численно исследованы электрические резонансные цепи эквивалентные квантовым биллиардам (ЬСЯ-биллиарды):

1. Предложены два типа электрических резонансных цепей, эквивалентных квантовым хаотическим биллиардам.

2. Рассмотрено влияние на статистические свойства собственных функций ЬСЯ-биллиардов таких черт электрических резонансных цепей как дискретность, флуктуации величин импедансов, омическое сопротивление элементов цепи. Как было показано, дискретность цепи и флуктуации величин импедансов не вносят существенного вклада в статистические свойства собственных функций закрытых хаотических биллиардов, в то время как введение омического сопротивления приводит к необходимости описания хаотических колебаний при помощи комплексных гауссовых полей, что эквивалентно открытым квантовым биллиардам.

В рамках теории случайных гауссовых волн рассмотрены статистические свойства собственных функций, описывающих внутренние колебания тонких упругих пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов:

1. Для описания хаоса во внутренних колебаниях тонких упругих пластин мы предложили рассмотреть потенциалы Гельмгольца в виде двух нескоррелированных случайных гуссовых функций, что привело к случайному полю деформации, являющемуся результатом интерференции продольно и поперечно поляризованных плоских волн со случайными фазами.

2. В рамках предложенного подхода мы получили корреляционные функции амплитуды и плотности энергии колебаний с учетом двойного лучепреломления на границе биллиарда.

3. Численно найдены собственные функций упругого биллиарда, выполненного в форме стадиона Бунимовича и рассчитана корреляционная функция плотности энергии колебаний. Совпадение результатов подтвердило справедливость предположения о том, что потенциалы Гельм-гольца являются статистически независимыми случайными функциями.

Впервые исследованы статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций:

1. Рассчитана плотность нодальных точек в случайном поле упругих деформации, а также проведена их топологическая классификация. Рассчитана плотность всех типов топологических дефектов в зависимости от упругих постоянных.

2. Аналитически рассчитана корреляционная функция топологического заряда. Численно рассчитана корреляционная функция нодальной плотности.

3. Исследовано распределение ближайших расстояний между нодальны-ми точками. На численном эксперименте было показано, что вероятность появления нодальной точки в качестве ближайшего соседа данной может быть с хорошей точностью аппроксимирована распределением Пуассона со средним значением заданным корреляционной функцией нодальной плотности. Для учета конкуренции между нодальными точками за право быть ближайшим соседом данной была также рассмотрена аппроксимация биномиальным распределением. Численно показано, что такой подход является наиболее точным в диапазоне расстояний, близких к среднему значению.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной работе были исследованы новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах. Были получены фазовая корреляционная функция и распределения компонент тензора напряжений случайных гауссовых воли, описывающих собственные колебания микроволнового поля в хаотических биллиардах.

Впервые были предложены электрические резонансные цепи, эквивалентные квантовым биллиардам. Было показано, что случайное поле напряжения, описывающие такие системы, обладает универсальными статистическими свойствами, характерными для микроволновых и квантовых хаотических систем, несмотря на ряд характерных черт, обусловленных их физической природой, таких как дискретность, флуктуации величин импедансов и омическое сопротивление элементов цепи. Таким образом, получен утвердительный ответ на вопрос о возможности моделирования хаотической динамики в электрических резонансных цепях. Для описания хаотической динамики упругих систем нами впервые была эффективно применена модель случайных волн в форме, адекватно описывающей статистические свойства собственных функций внутренних колебаний упругих биллиардов, что подтверждается данными численных расчетов. Также впервые были исследованы статистические свойства подальных точек в случайном поле упругих деформаций. Была проведена классификация нодальных точек и исследованы их статистические свойства, рассчитано распределение ближайших расстояний между ними.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах отдела теоретической физики ИФ СО РАН им. Л. В. Киренского. По результатам исследований опубликовано 5 работ:

1. Е. N. Bulgakov, D. N. Maksimov, А. F. Sadreev. Electric circuit networks equivalent to chaotic quantum billiards. // Phys. Rev. E.- 2005.- T.71, №4. 046205-7.

2. D. N. Maksimov, A. F. Sadreev. Gaussian random waves in elastic media. // Письма в ЖЭТФ.- 2007.- T.86, №9.- C.670-774.

3. D. N. Maksimov, A. F. Sadreev. Phase correlation function of complex random Gaussian fields. // Europhys. Lett.- 2007,- T.80, №5,- C.50003-50006.

4. D. N. Maksimov, A. F. Sadreev. Statistics of nodal points of in-plane random waves in elastic media. // Phys. Rev. E.- 2008.- T.77, №5.- 056204-7.

5. К.-F. Berggren, D. N. Maksimov, A. F. Sadreev, R. Hohmann, U. Kühl, and H.-J. Stöckmann. Quantum stress in chaotic billiards. // Phys. Rev. E.- 2008,- Т.77, №6.- 066209-11.

Личный вклад автора. Личный вклад автора состоит в проведении аналитических расчетов по тематике диссертационного исследования, а также в выполнении численных расчетов, обеспечивающих достоверность полученных результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объём работы составляет 87 страниц, включающих 31 рисунков и список литературы из 92 наименования. Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели исследования, показана научная новизна и практическая значимость результатов работы, описана структура диссертации. В первой главе приводится краткий обзор экспериментальных и теоретических работ по волновому хаосу в классической физике. Во второй главе рассматриваются проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах. Приводится вывод фазовой корреляционной функции случайных гауссовых волн. Исследуются статистические свойства тензора напряжений. В третьей главе рассматривается хаос в электрических резонансных цепях (LCR-биллиардах). В четвертой главе рассматривается хаос во внутренних колебаниях тонких пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов. Наконец, в пятой главе исследуются статистические свойства нодальных точек в случайном поле упругих деформаций. В заключении сформулированы основные результаты работы и краткие выводы.

В диссертационной работе численно и аналитически были исследованы хаотические колебания в микроволновых, упругих и ЬСЯ-биллиардах. В основу исследования свойств хаотических систем было положено описание собственных состояний хаотических биллиардов при помощи теории скоррелирован-ных гауссовых полей. В рамках данного подхода были исследованы открытые микроволновые и ЬСЯ-биллиарды, а также свойства собственных функций описывающих внутренние колебания закрытых упругих биллиардов.

Ниже перечислены основные результаты диссертационной работы:

1. Исследованы новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах: а) получена фазовая корреляционная функция случайных гауссовых волн, описывающих рассеяние на хаотическом биллиарде. Показано, что флуктуации фазы хаотической волновой функции вносят определяющий вклад в ее статистические свойства. Результаты подтверждены численным экспериментом. б) получены распределения компонент тензора напряжений в случайном поле гауссовых волн. Результаты подтверждены численным экспериментом и экспериментом с микроволновыми биллиардами.

2. Исследованы колебания в хаотических ЬСЯ-биллиардах:’ а) предложены два типа электрических резонансных цепей эквивалентных квантовым хаотическим биллиардам. б) рассмотрено влияние на статистические свойства собственных функций ЬСИ-биллиардов, таких черт электрических резонансных цепей как дискретность, флуктуаций величин импедансов, омическое сопротивление элементов цепи. Как было показано, дискретность цепи и флуктуации величин импедансов не вносят существенного вклада в статистические свойства собственных функций закрытых хаотических биллиардов, в то время как введение омического сопротивления приводит к необходимости описания хаотических колебаний при помощи комплексных гауссовых полей, что эквивалентно квантовым биллиардам, связанным с континуумом, посредством присоединения к ним полубесконечных волноводов.

3. Рассмотрены статистические свойства собственных функций, описывающих внутренние колебания тонких упругих пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов: а) для описания хаоса во внутренних колебаниях тонких упругих пластин мы предложили рассмотреть потенциалы Гельмгольца в виде двух нескоррелированных случайных гуссовых функций, что привело к случайному полю деформации, являющемуся результатом интерференции продольно, и поперечно поляризованных плоских воли со случайными фазами. б) в рамках предложенного подхода мы получили корреляционные функции амплитуды и плотности энергии колебаний с учетом двойного лучепреломления на границе биллиарда. с) были чиленно найдены собственные функций упругого биллиарда, выполненного в форме четверти стадиона Бунимовича и рассчитана корреляционная функция плотности энергии колебаний. Совпадение результатов подтвердило справедливость предположения о том, что потенциалы Гельмгольца являются статистически независимыми случайными функциями.

4. Исследованы статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций: а) нами рассчитана плотность нодальных точек в случайном поле упругих деформации, а также проведена их классификаций с точки зрения топологических свойств. Была рассчитана плотность всех типов топологических дефектов в зависимости от упругих постоянных. б) аналитически рассчитана корреляционная функция топологического заряда. Численно рассчитана корреляционная функция но-дальной плотности, б) исследовано распределение ближайших расстояний между нодаль-ными точками. На численном эксперименте было показано, что вероятность появления нодалыюй точки в качестве ближайшего соседа данной может быть с хорошей точностью аппроксимирована распределением Пуассона со средним значением заданным корреляционной функцией нодальной плотности. Для учета конкуренции между нодальпыми точками за право быть ближайшим соседом данной была также рассмотрена аппроксимация биномиальным распределением. Численно показано, что такой подход является наиболее точным в диапазоне расстояний близких к среднему значению.

На основе вышесказанного сформулируем краткие результаты и выводы работы:

1. Получена фазовая корреляционная функция и распределение компонент тензора напряжений случайных гауссовых волн, описывающих хаотические колебания в квантовых и микроволновых биллиардах. Результаты подтверждены численно и экспериментально.

2. Предложено два типа электрических резонансных цепей эквивалентных квантовым и микроволновым хаотическим биллиардам и показана возможность возникновения волнового хаоса в электрических резонансных цепях (ЬСИ-биллиардах).

3. Для описания хаоса продольных колебаниях тонких упругих пластин впервые предложено рассмотреть потенциалы Гельмгольца как статистически независимые случайные гауссовы функции.

4. Получены корреляционные функции амплитуды и плотности энергии хаотических колебаний с учетом двойного лучепреломления на границе биллиарда. Справедливость полученного результата подтверждена на численном эксперименте.

5. Исследованы статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций, проведена их классификация с точки зрения топологических свойств, рассчитана плотность всех типов топологических дефектов. Получены корреляционные функции топологического заряда и нодальной плотности.

Соискатель выражает глубокую признательность своему научному руководителю Алмазу Фаттаховичу Садрееву за руководство исследовательской работой, интересные наз^чные дискуссии и поддержку оказанную в годы обучения в аспирантуре. Соискатель также признателен своим соавторам Карлу-Фредрику-Берггрену и Евгению Николаевичу Булгакову. Отдельную благодарность следует выразить также Константину Николаевичу Пичугину, оказавшему неоценимую помощь в подготовке диссертации. Диссертационные исследования выполнены при поддержке РФФИ (грант 08-02-00751-а).

1. Х.-Ю. Штокманн. Квантовый хаос: введение- Москва: Физматлит, 2004.- 376с.

2. П. В. Елютин. Проблема квантового хаоса. // УФН.- 1988.- Т.155, №3,-С.397-442.

3. О. Bohigas, М. J. Giannoni, and С. Schmit. Characterization of Chaotic Quantum Spectra and Universality of Level Fluctuation Laws. // Phys. Rev. Lett.- 1984,- T.52, №1.- C.l-4.

4. S. W. McDonald and A. N. Kaufmann. Wave chaos in the stadium: Statistical properties of short-wave solutions of the Helmholtz equation. // Phys. Rev. A.- 1988.- T.37, т.- С.3067-3086.

5. H. U. Baranger and P. A. Mello. Mesoscopic transport through chaotic cavities: A random S-matrix theory approach. // Phys. Rev. Lett.- 1994.-T.73, №1.- С.142-145.

6. Й. Имри. Введение в мезоскопическую физику.- Москва: Физматлит, 2002,- 304с.

7. S. Datta. Electronic transport in mesoscopic systems.- Cambrige: Cambrige University Press, 1995.- 377c.

8. Г. M. Заславский. P. 3. Сагдеев. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. Москва: Наука, 1988.- 368с.

9. H.-J. Stockmann and J. Stein. Quantum chaos in billiards studied by microwave absorption. // Phys. Rev. Lett.- 1990.- T.64, №19.- C.2215-2219.

10. S. Sridhar. Experimental observation of scarred eigenfunctions of chaotic microwave cavities. // Phys. Rev. Lett.- 1991.- T.67, №7.- C.785-788.

11. P. Seba, F. Haake, M. Kus, M. Barth, U. Kuhl, and H.-J. Stockmann. Distribution of the wave function inside chaotic partially open systems. // Phys. Rev. E.- 1997.- T.56, №3.- С.2680-2686.

12. А. I. Saiehev, Н. Ishio, A. F. Sadreev, and K.-F. Berggren. Statistics of interior current distributions in two-dimensional open chaotic billiards. //J. Phys. A: Math. Gen.- 2002,- T.35.- L87-L93.

13. M. Barth and H.-J. Stockmann. Current and vortex statistics in microwave billiards. // Phys. Rev. E.- 2002,- T.65, №6.- 6G208-7.

14. R. L. Weaver. Spectral statistcs in elastodinamics. // J. Acoust. Soc. Am.-1989,- T.85, №3,- 1005-1013.

15. О. Legrand, С. Schimdt, and D. Sornette. Quantum Chaos Methods Applied to High-Frequency Plate Vibrations. // Europhys. Lett.- 1992.- T.18, №2.-C. 101-106.

16. G. Tanner and N. Sondergaard. Wave chaos in acoustics and elasticity. // J. Phys.A: Math. Theor.- 2007.- T.40, №50,- R443-R509.

17. T. A. Brody, J. Flores, J. B. French, P. A. Mello, A. Pandey, and S. S. Wong. Random-matrix physics: spectrum and strength fluctuations. // Rev. Mod. Phys.- 1981. T.53, №3.- C.385-479.

18. M. Shapiro and G. Goelman. Onset of Chaos in an Isolated Energy Eigenstate. // Phys. Rev. Lett.- 1984,- T.53, №18.- C. 1714-1717.

19. Ч. Пул. Техника ЭПР-спект’роскопии.- Москва: Мир, 1970.- 560с.

20. A. F. Sadreev and K.-F. Berggren. Signatures of quantum chaos in complex wavefunction sdescribing open billiards. //J. Phys.A: Math. Gen.- 2005.-T.38.- C. 10787-10804.

21. M. Vranicar, M. Barth, G. Veble, M. Robnik, and H.-J. Stockmann. ‘Persistent currents’ and eigenfunctions in microwave resonators with broken time-reversal symmetry. // J. Phys. A.- 2002.- T.35, №23,- C.4929-4947.

22. H.-J. Stockmann. Chladni meets Napoleon. // Eur. Phys. J. Special Topics.-2007.- T.145.- C. 15-23.

23. C. Ellegaard, T. Guhr, K. Lindemann, H. Q. Lorensen, J. Nygard, and M. Oxborrow. Spectral Statistics of Acoustic Resonances in Aluminum Blocks. // Phys. Rev. Lett. 1995,- T.75, №8,- C. 1545-1549.

24. C. Ellegaard, T. Guhr, K. Lindemann, J. Nygard, and M. Oxborrow. Symmetry Breaking and Spectral Statistics of Acoustic Resonances in Quartz Blocks. // Phys. Rev. Lett.- 1996.- T.77, №24. C.4918-4921.

25. P. Bertelsen, C. Ellegaard, T. Guhr, and M. Oxborrow. Measurement of Parametric Correlations in Spectra of Resonating Quartz Blocks. // Phys. Rev. Lett.- 1999.- T.83, №11. C.2171-2174.

26. P. Bertelsen, C. Ellegaard, and E. Hugues. Distribution of eigenfrequencies for vibrating plates. // Eur. Phys. J. B.- 2000.- T.15, №1,- C.87-96.

27. A. Andersen, C. Ellegaard, A. D. Jackson, and K. Schaadt. Random matrix theory and acoustic resonances in plates with an approximate symmetry. // Phys. Rev. E.- 2001.- T.63, №6,- 066204-11.

28. K. Schaadt and A. Kudrolli. Experimental investigation of universal parametric correlators using a vibrating plate. // Phys. Rev. E.- 1999.- T.60, №4,- R3479-4.

29. K. Schaadt, T. Guhr, C. Ellegaard, M. Oxborrow. Experiments on elastomechanical wave functions in chaotic plates and their statistical features. // Phys. Rev. E.- 2003,- T.68, №3,- 036205-6.

30. M. C. Gutzwiller. Chaos in Classical and Quantum Mechanics.- N.Y.: Springer-Verlag, 1990.- 432c.

31. L. Couchman, E. Ott, T. M. Antonsen Junior. Quantum chaos in systems with ray splitting. // Phys. Rev. A.- 1992.- T.46, №10.- C. 6193-6217.

32. N. Sondergaard and G. Tanner. Wave chaos in the elastic disk. // Phys. Rev. E.- 2002.- T.66, №6.- 066211-12.

33. G. Kron. Electric Circuit Models of the Schrodinger Equation. // Phys. Rev.-1945.- T.67, №2,- C.39-43.

34. G. K. Carter and G. Kron. A.C. Network Analyzer Study of the Schrodinger Equation. // Phys. Rev.- 1945,- T.67, №2,- C.44-49.

35. J. V. Fyodorov. Spectral properties of random reactance networks and random matrix pencils. // J. Phys. A:Math.- 1999,- T.32, №42,- C.7429-7446.

36. O. Bengtsson, J. Larsson, and K.-F. Berggren. Emulation of quantum mechanical billiards by electrical resonance circuits. // Phys. Rev. E.- 2005.-T.71, №5.- 056206-11.

37. M. V. Berry. Regular and irregular semiclassical wavefunctions. //J. Phys. A: Math. Gen.- 1977.- T.10, №10.- C.2083-2091 .

38. А. И. Шнирельман. Эргодические свойства собственных функций. // УМН.- 1974,- Т.29, №6,- С. 181-182.

39. A. Voros. Semi-classical approcsimations. // Ann. Inst. Henri Poincare, Sect. A.- 1976,- T.24, №1.- C.31-90.

40. K. J. Ebeling. Statistical properties of spatial derivatives of the amplitude and intensity of monochromatic speckle patterns. // Optica Acta.- 1979.-E.26, №12,- C. 1505-1521.

41. P. O’Connor, J. Gehlen, and E. J. Heller. Properties of random superpositions of plane waves. // Phys. Rev. Lett.- 1987.- T.58, №13.- C.1296-1299.

42. M. R. Dennis. Correlations and screening of topological charges in Gaussian random fields. // J. Phys. A: Math. Gen.- 2003,- T.36, №24,- C.6611-6628.

43. J. F. Nye and M. V. Berry. Dislocations in Wave Trains. // Proc. Roy. Soc. Lon. A.- 1974,- T.336, №1605,- C.165-190.

44. M. V. Berry and M. R. Dennis. Phase singularities in isotropic random waves. // Proc. R. Soc. Lond. A.- 2000.- T.456, №2001,- C.2059-2079.

45. N. Shvartsman and I. Freund. Vortices in random wave fields: Nearest neighbor anticorrelations. // Phys. Rev. Lett.- 1994.- T. 72, №7.- C.1008-1011.

46. M. S. Longuet-Higgins. The Statistical Analysis of a Random, Moving Surface. // Phil. Trans. R. Soc. A.- 1957.- T.249, №966.- C.321-387.

47. M. S. Longuet-Higgins. Statistical properties of an isotropic random surface. // Phil. Trans. R. Soc. A.- 1957.- T.250, №975,- C.157-174.

48. F. Liu and G. F. Mazenko. Defect-defect correlation in the dynamics of firstorder phase transitions // Phys. Rev. B.- 1992,- T.46, №10.- C.5963-5971.

49. I. Freund and M. Wilkinson. Critical-point screening in random wave fields. // J. Opt. Soc. Am. A.- 1998.- T.15, Ml.- C.2892-2902.

50. M. Barth and H.J. Stockmann. Current and vortex statistics in microwave billiards. // Phys. Rev. E.- 2002,- T.65, №6.- 066208-7.

51. A. I. Saichev, K.-F. Berggren, and A. F. Sadreev. Distribution of nearest distances between nodal points for the Berry function in two dimensions. // Phys. Rev. E.- 2001.- T.64, №3,- 036222-11.

52. K.-F. Berggren, A. F. Sadreev, and A. A. Starikov. Crossover from regular to irregular behavior in current flow through open billiards. // Phys. Rev. E.- 2002,- T.66, №1,- 016218-10.

53. M. D. Waller. Vibrations of Free Plates: Line Symmetry; Corresponding Modes. // Proc. Roy. Soc. London A.- 1952,- T.211, №265.- C.265-276.

54. B. Thomas and A. M. Squires. Support for Faraday’s View of Circulation in a Fine-Powder Chladni Heap. // Phys. Rev. Lett.- 1998.- T.81, №3,- C.574-577.

55. I. S. Aronson and L. S. Tsimring. Patterns and collective behavior in granular media: Theoretical concepts. // Rev. Mod. Phys.- 2006.- T.78.- C.641-692.

56. M. Dorrestijn, A. Bietsch, T. Ackaln, A. Raman, M. Hegner, E. Meyer, and Ch. Gerberl. Chladni Figures Revisited Based on Nanomechanics. // Phys. Rev. Lett.- 2007.- T.98, №26.- 026102-4.

57. R. Pnini and B. Shapiro. Intensity fluctuations in closed and open systems. // Phys. Rev. E.- 1996.- T.54, №2.- C.1032-1035.

58. A. I. Saichev, H. Ishio, A. F. Sadreev, and K.-F. Berggren. Statistics of interior current distributions in two-dimensional open chaotic billiards. // J. Phys. A: Math, and General.- 2002,- T.35, №5,- C.87-93.

59. D. Middleton, Introduction to Statistical Communication Theory.- New York: McGraw-Hill, 1960.

60. I. Freund and D. A. Kessler. Phase autocorrelation of random wave fields. // Optics Comm.- 1996,- T.124, №3,- C.321-332.

61. I. Freund. Phase Correlations at Neighboring Intensity Critical Points in Gaussian Random Wave Fields. // Appl. Optics.- 1998.- T.37, №32.- C.7560-7567.

62. B. A. van Tiggelen, D. Anache, and A. Ghysels. Role of mean free path in spatial phase correlation and nodal screening.// Europhys. Lett.- 2006.- T.74, №6,- C.999-1005.

63. M. Srednicki. Gaussian random eigenfunctions and spatial correlations in quantum dots. // Phys. Rev. E.- 1996.- T.54, №1.- C.954-955.

64. K. J. Ebeling. Statistical properties of random wave fields // Physical Acoustics: Principles and Methods.- 1984,- Т.17,- C.233-310.

65. P. W. Brouwer. Wave function statistics in open chaotic billiards. // Phys. Rev. E.- 2003,- T.68, №4,- 046205-6.

66. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теория поля Москва: Наука, 1941.- с.284.

67. В. Паули. Труды по квантовой теории. Квантвая теория. Общие принципы волновой механики. Статьи 1920-1928. Москва: Наука, 1975.-688с.

68. О. Н. Nielsen, R. М. Martin. Quantum-mechanical theory of stress and force. // Phys. Rev. В.- 1985,- T.32, №6.- C.3780-3791.

69. M. J. Godfrey. Stress field in quantum systems. // Phys. Rev. В.- 1988.-T.37, №17.- С.10176-10183.

70. E. Madelung. Quantentheorie in hydrodynamischer Form. // Z. Phys.- 1927.-T.40, №3,- C.322-326.

71. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Гидродинамика.- Москва: Наука, 1986.-с.736.

72. Т. Ando Quantum point contacts in magnetic field // Phys. Rev. В.- 1991.-T.44, №15.- С.8017-8027.

73. A. F. Sadreev, K.-F. Berggren. Current statistics for wave transmission through an open Sinai billiard: Effects of net currents // Phys. Rev. E.-2004,- T.70, №2.- 026201-7. K.-F.

74. Berggren, D. N. Maksimov, A. F. Sadreev, R. Hohmann, U. Kuhl, and H.-J. Stockmann. Quantum stress in chaotic billiards. // Phys. Rev. E.- 2008.-T.77, т.- 066209-11.

75. S. Iida, H. A. Weidenmiiller, and J. A. Zuk. Wave propagation through disordered media and universal conductance fluctuation. // Phys. Rev. Lett.1990.- T.64, №5,- C.583-586.

76. V. N. Prigodin, К. B. Efetov, and S. Iida. Statistics of conductance fluctuations in quantum dots. // Phys. Rev. Lett.- 1993,- T.71, №8.- C.1230-1233.

77. K. Zyczkowski and G. Lenz. Eigenvector statistics for the transitions from the orthogonal to the unitary ensemble. // Z. Phys. B: Condens. Matter.1991.- T.82, №2.- C.299-303.

78. G. Lenz and K. Zyczkowski. Time-reversal symmetry breaking and the statistical properties of quantum systems. //J. Phys. A.- 1992.- T.25, №21,-C.5539-5551.

79. E. Kanzieper and V. Freilikher. Eigenfunctions of electrons in weakly disordered quantum dots: Crossover between orthogonal and unitary symmetries. // Phys. Rev. В.- 1996,- T.54, №12.- C.8737-8742.

80. B. D. Popovic, Introductory engineering electromagnetics.- Addison-Wesley: Reading, 1971.- 634c.

81. M. Buttiker. Role of quantum coherence in series resistors. // Phys. Rev. B.-1986.- T.33, №5.- C.3020-3026.

82. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теория упругости Москва: Наука, 1987.-с.248.

83. J. D. Achenbach. Wave Propagation in Elastic Solids Amsterdam: North-Holland Publishing Comp, 1973.- c.425.

84. R. D. Mindlin. Structural Mechanics- New-York: Pergamon Press, 1960.-654c.

85. J. Miklowitz. Elastic Waves and Waveguides.- Amsterdam: North-Holland Publishing Сотр., 1978,- 618c.

86. V. N. Prigodin, N. Taniguchi, A. Kudrolli, V. Kidambi, and S. Sridhar, Spatial Correlation in Quantum Chaotic Systems with Time-Reversal Symmetry: Theory and Experiment // Phys. Rev. Lett.- 1995,- T.75, №12.-C.2392-2395.

87. V. N. Prigodin. Spatial Structure of Chaotic Wave Functions. // Phys. Rev. Lett.- 1995,- T.74, №9,- C.1566-1569.

88. A. Akolzin and R. L. Weaver. Generalized Berry conjecture and mode correlations in chaotic plates. // Phys. Rev. E.- 2004,- T.70, №4,- 0462124.

89. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия-Москва: Наука, 1979,- 760с.

90. J. R. Eggert. Bivalent nearest-available-neighbor distribution in n dimensions: A Monte Carlo calculation. // Phys. Rev. В.- 1984,- T.29, №12.-C.6664-6668.

ТОП площадок для торговли бинарными опционами:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место в рейтинге! Самый честный и надежный брокер бинарных опционов!
    Идеально подходит для новичков и средне-опытных трейдеров.
    Бесплатное обучение и демо-счет!
    Дают бонус за регистрацию:

Добавить комментарий